PROLETRAMENTO MATEMÁTICA VIRADOURO 2013

ESPAÇO DEDICADO A POSTAGENS DE TRABALHOS RELATVOS AO PROLETRAMENTO DE MATEMÁTICA DO MUNICÍPIO DE VIRADOURO - SP


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Leituras que fazem bem a nossa mente e a nossa profissão.

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AMIGO(A) CURSISTA,

Ler, é à priori, uma atitude inteligente e edificante, mas há leituras que são indispensáveis a determinadas pessoas. Esse é o caso dos artigos, ou partes de artigos que postaremos aqui. Leituras que você não pode deixar de fazer. Mais uma vez vos lembro que todos os cursistas podem postar essas leituras, como já disse, esse fórum é nosso, vamos constrindo-o aos poucos com muito carinho.

Um abraço dos tutores

Manoel Brandão e Maria Elvira



Última edição por TUTOR MANOEL BRANDÃO em Dom Fev 19, 2012 9:58 am, editado 1 vez(es)

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ZETETIKÉ – Cempem – FE – Unicamp – v. 17, n. 31 – jan/jun – 2009

Um estudo sobre o desempenho e as dificuldades apresentadas por alunos do
ensino médio na identificação de atributos definidores de polígono

ZETETIKÉ – Cempem – FE – Unicamp – v. 17, n. 31 – jan/jun – 2009
Marcelo Carlos de Proença*
Nelson Antonio Pirola**

Este artigo corresponde a parte do  trabalho de mestrado  (2006-2008), desenvolvido por
Marcelo  Carlos  de  Proença,  com  auxílio  financeiro  parcial  da  Capes,  sob  orientação  do
professor Nelson Antonio Pirola.
*  Licenciado  em  Matemática  e,  atualmente,  doutorando  em  Ensino  de  Ciências  e
Matemática, ambos pela Universidade Estadual Paulista — Unesp —, campus Bauru.
** Professor Assistente Doutor do Departamento de Educação e professor do Programa de
Pós-Graduação em Educação para a Ciência, ambos da Unesp, campus Bauru.


Disponível na integra em:

http://www.fae.unicamp.br/revista/index.php/zetetike/article/viewFile/2619/2361
http://www.fae.unicamp.br/zetetike/viewissue.php?id=41


Algumas considerações sobre o conceito de polígono

De  acordo  com Carvalho  (1994),  o processo de desenvolvimento
conceitual pelo aluno dá-se ao longo de toda a escolarização. No entanto,
pesquisas  como  a de  Proença  (2008) mostraram  que  alunos na última
etapa  da  educação  básica,  Ensino  Médio,  parecem  não  dominar
conceitos geométricos, como os relacionados a polígonos.  
Esse  resultado  pode  ser  proveniente  do  tipo  de  ensino  que
recebem,  muitas  vezes  baseado  em  definições  prontas  e  acabadas,
seguidas  de  “exercícios  de  fixação”.  Como  sugerido  pela  Proposta
Curricular para o ensino de Matemática do Ensino Médio (SÃO PAULO,
1992), a definição de um conceito matemático  é o ponto de chegada, e
não o ponto de partida para o seu processo de ensino-aprendizagem.
Nesse  sentido,  cabe  ao  professor,  quando  ensinar  geometria,
além  de  investigar  o  que  os  alunos  sabem  sobre  um  conceito,  ter
domínio sobre os atributos definidores desse conceito, ou seja, conhecer
a matéria  que  ensina  (MIZUKAMI, 2006). Assim,  quando planejar uma
abordagem  conceitual,  ele  deve  dispor  do  conhecimento  sobre  uma
definição  e  explorar  os  “atributos definidores” principais para  o  ensino
(KLAUSMEIER; GOODWIN, 1977).
No  caso  dos  polígonos,  a  definição  é  própria  do  conhecimento
geométrico  e  cabe  ao  professor  conhecê-la  para  poder  verificar  quais
atributos seriam importantes para defini-lo. “[...] o conceito geométrico é
ligado  a  uma  definição matemática  e  por  essa  razão  possui  atributos
relevantes. Tais  atributos devem  ser  reconhecidos  para  se  identificar  o
conceito  em  qualquer  contexto  que  ele  esteja  inserido.”
(FAINGUELERNT, 1999, p. 60).
Isso  significa  que  um  conceito  geométrico  sempre  apresentará
características  de  sua  definição.  E  acredita-se  que  o  seu
desenvolvimento estará subordinado à linguagem do aluno, e não a uma
imposição  de  termos  rigorosos.  “[...]  definir  é  necessário, mas  é muito
menos que conceituar, porque o  texto  formal de uma definição só pode
apresentar alguns traços exteriores ao conceito.” (PAIS, 2002, p. 56).
No entanto, podem-se encontrar definições diferentes, em alguns
aspectos,  sobre  determinados  conceitos.  Proença  (2008)  constatou  que
autores  que  escreveram  sobre  geometria  plana  apresentavam  uma
variação na definição de polígono. Nesse caso, o cruzamento entre dois
lados  não  consecutivos  (figuras  entrelaçadas)  foi  a  característica
considerada  por  um,  e  não  por  outro  autor.   [ Veja ] essas diferenças.



Dolce e Pompeo (1993, p. 80)
Dada uma seqüência de pontos de um plano (A1, A2,..., An)
com n≥3, todos distintos, onde três pontos consecutivos não
são colineares, considerando-se consecutivos An-1, An e A1,
assim como An, A1 e A2, chama-se polígono à reunião dos
segmentos A1A2, A2A3, ...,An-1An, AnA1.

Exemplo considerado: figura estrelada ou entrelaçada
Barbosa (1985, p. 38)

Uma poligonal é uma figura formada por uma seqüência de
pontos A1, A2,..., An e pelos segmentos A1A2, A2A3,..., An-1An. Os
pontos são os vértices da poligonal e os segmentos são seus
lados. Uma poligonal pode ser aberta ou fechada.
Um polígono é uma poligonal em que as seguintes condições
são satisfeitas:
a) An = A1
b) Os lados da poligonal somente se interceptam em suas
extremidades.
c) Cada vértice é extremidade de dois lados.
d) Dois lados com mesma extremidade não pertencem a uma mesma reta.

Como se pode observar, Dolce e Pompeo (1993) apresentam uma
definição  de  polígono,  da  qual  a  figura  estrelada  é  um  exemplo.  Em
contrapartida,  após  definir  linha  poligonal,  Barbosa  (1985)  explicita
quando  uma  poligonal  é  um  polígono,  ao  apresentar  as  condições  que
devem  ser  satisfeitas.  Desse  modo,  a  condição  de  que  “os  lados  da
poligonal,  ou  seja,  do  polígono,  somente  se  interceptam  em  suas
extremidades”  indica  que  a  figura  estrelada  ou  entrelaçada  não  é  um
exemplo dessa classe.
Essa variação que aparece nas definições desses autores parece
indicar que isso pode depender da interpretação de cada um. No estudo
desenvolvido  por  Melão  (2003),  cujo  objetivo  foi  formular  com  seus
alunos  de  sétima  série  uma  definição  de  polígono, mostrou-se  que  os
autores  de  livros  didáticos,  alguns  renomados na  área  de matemática,
apresentavam definições que permitiam interpretações diferentes.
Melão  (2003)  chama  a  atenção  dos  alunos  para  observarem  as
semelhanças e as diferenças entre as definições:
Vocês  repararam  que  cada  autor usou uma  definição
diferente  e  que  de  algum  modo  elas  têm  diferenças,
mas  têm  também  coisas  em  comum?  Algumas  são
amplas  e  dão  margem  para  fazermos  interpretações
mais  livres  e  incluirmos  nossas  figuras.  Outras  são
mais restritas e nos concedem menos liberdade (p. 18).  
Além da análise da definição de polígono desses autores, Proença
(2008)  também  analisou  os  livros  didáticos  que  os  alunos  do  Ensino
Médio,  participantes  da  pesquisa,  haviam  utilizado  no  Ensino
Fundamental  dessa  escola  e  a  forma  como  seus  autores  tratavam  da
definição de polígono.
Iezzi,  Dolce  e  Machado  (2000),  em  um  livro  da  quinta  série,
apresentam, primeiro,  a definição  de  poligonal  como  “a  figura  formada
pelos  pontos  de  um  número  finito  de  segmentos  sucessivamente
consecutivos,  com  quaisquer  dois  segmentos  vizinhos  não  colineares.”
(p. 228). Posteriormente, definem que uma poligonal simples  “é quando
a  intersecção  de  dois  quaisquer  lados  não  consecutivos  é  vazia.  Caso
contrário, ela é não simples [entrelaçada].” (p. 228). Desse modo, define-
se polígono como “uma poligonal em que as extremidades coincidem.” (p.
230). Nesse caso, polígono é tanto uma figura simples como uma figura
não simples (entrelaçada).
No estudo piloto que foi realizado para testar os instrumentos de
coleta  de  dados,  verificou-se  que  Giovanni  e  Giovanni  Jr.  (2002),  nos
livros  de  quinta  e  sétima  séries,  apresentavam  a mesma  definição  de
polígono: “a reunião de uma linha fechada simples, formada apenas por
segmentos de  reta, com sua  região  interna.”  (2002, 5ª série, p. 207; 7ª
série, p. 94).
Nessa  definição,  pode-se  verificar  que  eles  consideravam  que  a
figura  estrelada  não  era  um  exemplo  de  polígono,  ao  referir-se  a  uma
“linha fechada simples”. Tal fato está de acordo com a idéia de Barbosa
(1985).
Além  dessa  observação,  pode-se  verificar  que  a  definição
apresentada  por  Giovanni  e  Giovanni  Jr.  (2002),  no  geral,  difere  dos
autores  já  citados.  Eles  consideraram  o  polígono  “com  sua  região
interna”.  Isso  leva a entender que esse conceito corresponde à  fronteira
da  figura mais a área delimitada por ela, situação que é  evidente, pois
todos  os  polígonos  presentes  em  seus  livros  analisados  aparecem  com
suas regiões internas pintadas de alguma cor. Essa situação pode gerar
dificuldades  na  aprendizagem  dos  alunos,  pois  estes  podem  acabar
considerando,  por  exemplo,  um  quadrado  como  constituído  da  região
interna.
Para Dolce e Pompeo (1993) e Barbosa (1985), polígono é apenas
a  fronteira,  sendo  errado,  de  acordo  com  a  definição  desses  autores,
calcular,  por  exemplo,  a  área  de  um  quadrado.  Nesse  caso,  Barbosa
afirma  que  é  necessário  estabelecer  uma  convenção,  esclarecendo  aos
alunos que “nós  iremos  tomar a  liberdade de usar expressões do tipo a
área  de  um  quadrado  quando  queremos  dizer  realmente  ‘a  área  da
região  poligonal  cuja  fronteira  é  um  quadrado’”  (BARBOSA,  1985,  p.
176, grifo nosso).
Em sua pesquisa, Melão (2003), ao explicar ao seu aluno por que
não há uma definição única  e universal, em contraposição às palavras
desse aluno: “como é que é de verdade”, concluiu: “Nós fomos aos livros
didáticos e vimos que há várias divergências entre os autores e que as
definições  nos  permitem  interpretações  diferentes,  incluindo  ou
excluindo nossas figuras”.(p. 19).
Nesse  sentido,  a  formação do professor  é  importante, pois  é  ele
quem  deve  garantir  uma  aprendizagem  com  qualidade  aos  alunos.  Na
escola,  deve  haver  um  trabalho  conjunto  dos  professores  do  Ensino
Fundamental e do Ensino Médio, no sentido de que os conceitos sejam
trabalhados  corretamente  e  de  modo  a  dar  prosseguimento  à
aprendizagem dos conteúdos.
Assim, de acordo com o que foi apresentado, os conceitos podem
assumir  variações  em  algum  aspecto,  segundo  a  definição  que  for
adotada  pelo  professor  de  matemática.  Como  foi  observado,  existem
entendimentos distintos sobre o que seja um polígono, gerando, assim,
definições diferentes. O professor, porém, deve saber que essas variações
existem e que ele, por sua vez,  tem que dar a devida orientação a seus
alunos para garantir uma aprendizagem com significados.
Neste  trabalho,  para  computar  a  quantidade  de  acertos  dos
participantes  no  teste  que  foi  aplicado,  utilizar-se-á  a  definição  de
Barbosa  (1985),  pois  ela  considera  que  um  polígono  é  uma  figura
simples, ou seja, não há intersecção entre dois lados não consecutivos.

Aprendizagem e desenvolvimento de conceitos
Para  Klausmeier  e  Goodwin  (1977),  um  conceito  é  uma
“informação  ordenada  sobre  as  propriedades de uma  ou mais  coisas  –
objetos,  eventos  ou  processos  –  que  torna  qualquer  coisa  ou  classe de
coisas capaz de ser diferenciada de ou relacionada com outras coisas ou
classes de coisas”.(1977, p. 312).
Para os autores, a palavra “conceito” é usada para designar tanto
os  “construtos  mentais”  de  indivíduos  como  também  as  “entidades
públicas”  identificáveis que compreendam parte do conteúdo das várias
disciplinas.  Os  conceitos,  como  construtos  mentais,  formam-se  de
acordo  com  as  experiências  de  aprendizagem  e  os  padrões
maturacionais  únicos  de  cada  indivíduo.  Conceitos  como  “entidades
públicas”  são  definidos  como  informações  organizadas  que
correspondem  aos  significados  de  palavras  contidos  em  dicionários,
enciclopédias e outros livros.
Segundo  Klausmeier  e Goodwin  (1977),  qualquer  conceito  pode
apresentar,  em  graus  variados,  oito  características  que  seriam
importantes  para  o  processo  de  ensino  e  de  aprendizagem  na  escola
básica. Eles seriam:
1.  Aprendibilidade:  alguns  conceitos  são  aprendidos  pelos
indivíduos  mais  facilmente,  por  apresentarem  exemplos
perceptíveis  (por  exemplo,  “árvore”)  do  que  outros  (por  exemplo,
“átomo” e “eternidade”).  
2.  Utilidade:  a  utilidade  dos  conceitos  varia  no  sentido  de
que  alguns  podem  ser  mais  usados  do  que  outros  para
compreender e formar princípios, sendo que essa variação também
ocorre para resolver problemas.  
3.  Validade:  os  conceitos  tornam-se  válidos  na medida  em
que  avançam  os  estudos  sobre  ele  e  também  quando  se  tornam
mais próximos da definição aceita pelos especialistas.
4.  Generalidade:  grande  parte  dos  conceitos  está  disposta
hierarquicamente  e, quanto mais  elevado  for o  lugar do  conceito,
mais geral ele será em relação aos conceitos subordinados a ele.

5.  Importância:  um  conceito  pode  facilitar  ou  ser  essencial
para  formar  outros  conceitos.  Por  exemplo,  o  conceito  de
perpendicularidade  é  importante  para  que  o  aluno  identifique  e
compreenda o conceito de triângulo retângulo.  
6.  Estrutura:  qualquer  conceito,  como  entidade  pública,
apresenta  uma  estrutura  caracterizada  pela  relação  com  seus
atributos  definidores.  Essa  estrutura  é  denominada  “regra
conceitual”  (afirmativa,  conjuntiva,  disjuntiva  inclusiva,
condicional ou bicondicional), que está presente em quase todos os
conceitos escolares. Por exemplo, a afirmação “todos os triângulos
apresentam  três  segmentos  de  retas”  apresenta  uma  relação  do
conceito de triângulo com seu atributo definidor. Essa é uma regra
conceitual do tipo afirmativa.
7.  Perceptibilidade de exemplos: a percepção de exemplos de
um  conceito,  às  vezes,  não  é  possível  através  dos  órgãos  dos
sentidos. Por exemplo, na Matemática, para o conceito de infinito,
não há exemplo observável.
8.  Numerosidade  de  exemplos:  os  exemplos  dos  conceitos
variam em quantidade: de um único exemplo, por exemplo, a Lua
da Terra, até infinitos, como é o caso dos números naturais.

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